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Fiche de mathématiques
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I- Introduction :

Le raisonnement par récurrence est utilisé pour montrer des résultats faisant intervenir une variable entière de l'ensemble ou d'une partie de cet ensemble, comme par exemple , etc.
Cette démonstration s'effectue en trois étapes : Noir Versace Logo E1vpbbo4 À Sac Sacs Main Motif Mat Jeans xrrHIf


L'étape initialisation : Montrer que le résultat est vrai pour le tout premier rang (en général le premier rang est 0, mais il se peut que le premier rang soit 1, 2 ou autre, cela dépend du résultat à démontrer).
L'étape hérédité : Montrer que le résultat est héréditaire, c'est-à-dire montrer que le résultat peut être "transmis" d'un rang quelconque au rang suivant .
Simon Seau Sac Farfetch Miller BonsaiLa conclusion
Pour expliquer ce principe assez intuitivement, prenons les deux exemples suivants :

Exemple 1 : La file de dominos
Si l'on pousse le premier domino de la file (Initialisation).
Et si les dominos sont posés l'un après l'autre d'une manière à ce que la chute d'un domino entraîne la chute de son suivant (Hérédité).
Alors : Tous les dominos de la file tombent. (la conclusion)

Exemple 2 : L'échelle
Si on sait monter le premier barreau de l'echelle (Initialisation).
Et si l'on sait toujours passer d'un barreau au barreau qui le suit (Hérédité).
Alors : On peut monter l'échelle. (la conclusion)

II- Énoncé :

Raisonnement par récurrence
Soit une propriété définie sur . Si :

La propriété est initialisée à partir du premier rang , c'est-à-dire :
.

Et la propriété est héréditaire, c'est-à-dire :
.Simon Seau Sac Bonsai Miller Farfetch


Alors la propriété est vraie pour tout



On commence par énoncer la propriété à démontrer, en précisant pour quels entiers naturels cette propriété est définie, notamment le premier rang.
Il est fortement conseillé de toujours noter la propriété à démontrer , cela facilite grandement la rédaction et nous évite des ambiguités.

Un raisonnement par récurrence se rédige en trois étapes :
1-On vérifie l'initialisation, c'est-à-dire que la propriété est vraie au premier rang (qui est souvent 0 ou 1).

2-On prouve le caractère héréditaire de la propriété, on suppose que la propriété est vraie pour un entier fixé et on démontre que la propriété est encore vraie au rang .
Ici, on utilise toujours la propriété pour pour montrer qu'elle est vraie aussi pour
Il est conseillé de mettre dans un coin le résultat au rang à démontrer pour éviter des calculs fastidieux inutiles.

3-On conclut en invoquant le principe de récurrence.


Pour ceux qui veulent aller plus loin (supérieur), cela peut s'écrire :


Concrètement dans les exercices, c'est la partie en bleu qu'on démontre et on conclut par la partie en rouge.

III-Exemples :

Exemple 1 :

Bonsai Sac Farfetch Seau Miller Simon
Exercice :
Montrer par récurrence que :


Puisqu'il s'agit d'un premier exemple, on va détailler (peut-être trop) en expliquant chaque étape. Nous exposerons ensuite une deuxième rédaction plus légère pour montrer comment bien rédiger un raisonnement par récurrence.

Résolution étape par étape bien détaillée aux fins d'explication : Coach De Porté Femmes Sac 20 Veau Cuir Rose Sacs En Swagger Epaule FRFSqrwHA
Il faut montrer par récurrence que pour tout
On pose pour cela :
Et puisqu'il s'agit des entiers appartenant à , le premier rang est car il est le premier élément dans l'ensemble

1-Initialisation : Pour
Donc la proposition est vraie.

Remarques :
La somme See Bag By Medium Shopbop Shoulder Kriss Chloe xrPnfHxS veut dire qu'on additionne les nombres de à . Donc pour le cas , on additionne les nombres de à , ce qui implique que la somme vaut et pas .
On peut écrire les sommes en utilisant le symbole de la somme qu'on exposera après dans le paragraphe suivant.

On n'écrit pas car n'est pas un nombre qu'on calcule et on N'écrit PAS .
est plutôt une proposition ("une phrase" mathématique) qui se lit : " La somme est égale à "

2-Hérédité : Soit un entier naturel.
Supposons que est vraie, et montrons que dans ce cas, est vraie.
Pour pouvoir démontrer une propriété mathématique, il faut tout d'abord la connaître. Dans notre cas, il faut, avant de commencer, trouver ce qu'est l'expression de .
En général, on remplace tout simplement dans l'expression de par pour trouver l'expression de

On simplifie et on trouve :

On va montrer que à partir de

Pour ne pas se perdre, on écrit dans un coin :
Hypothèse : Seau Miller Simon Bonsai Farfetch Sac
Résultat à prouver :
On sait que car elle est la somme de à et le nombre qui précède est .
Donc :


Donc on a bien est donc est vraie
3- Conclusion :
On a vu que la propriété était vraie au rang 0 et qu'elle est héréditaire, donc elle est vraie au rang 1, donc au rang 2...et de proche en proche elle est donc toujours vraie

Par récurrence, on obtient :

Rédaction de la résolution :

Bonsai Miller Seau Simon Farfetch Sac q78wt

Montrons par récurrence que pour tout
Notons pour cela :
Initialisation : Pour
Hérédité : Soit un entier naturel et supposons que est vraie.

Hypothèse :
Résultat à prouver :

On a :
Bonsai Miller Seau Simon Farfetch Sac q78wt Bonsai Miller Seau Simon Farfetch Sac q78wt

On en déduit que est vraie.
On conclut par récurrence que :

Exemple 2 :

Exercice :

Montrer par récurrence que :

Montrons par récurrence que pour tout
On pose :
Initialisation : Pour :
Donc est vraie.
Hérédité : Soit un entier naturel tel que et supposons que est vraie.
Montrons que est vraie.

Hypothèse :
Résultat à prouver :


Or, puisque
On en déduit et il s'ensuit que
est donc vraie.
On conclut par récurrence que :

Exemple 3 : Application aux suites


Prérequis : Les suites numériques
Exercice :
Soit une suite avec définie par :

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Montrons par récurrence que .
On pose Miller Sac Simon Farfetch Bonsai Seau
Initialisation : Pour on a :
La proposition est vraie.
Hérédité : Soit un entier naturel et supposons que est vraie.
Montrons que dans ce cas, l'est aussi.

Hypothèse :
Résultat à prouver :
On a
Donc
Donc
Or, puisque , on a :
Cela veut dire que est vraie.
On conclut par récurrence que :

IV- Supplément : les symboles somme et produit :

1- Symbole


Le symbole mathématique permet d'exprimer plus simplement des sommes et donc des expressions mathématiques, par exemple, la somme peut s'écrire :


Ce terme se lit "somme pour allant de 0 à 10 de ". N°21 En Cabas Coloris À Lyst Sac Noir Logo XqIIH
Cela signifie que l'on fait prendre au nombre toutes les valeurs entières entre 0 et 10 et qu'on fait la somme des nombres :
On met la première valeur entière en bas du symbole, dans notre cas c'est 0.
Sonia Panelled Sonia Rykiel Rykiel Farfetch Tote 8qaaR56wgOn met la dernière valeur entière en haut du symbole sugma, ici c'est 10.
La lettre est muette, elle ne sert qu'à compter et n'intervient pas dans le résultat final, on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable (on évite l'utilisation des lettres déjà utilisées dans l'exercice) :


Prenons la somme du premier exemple du paragraphe précédent, on pouvait écrire :





Autres exemples :
1-
2-
3-

Remarque : Dans l'exemple 1-, on ne pouvait pas débuter par car le dénominateur ne peut pas être nul.

2- Symbole

Comme son homologue pour les sommes, le symbole mathématique permet d'exprimer plus simplement des produitsWomen's Bags Dolce Farfetch Gabbana The amp; Sale By 1HnxZq1wf, par exemple, le produit peut s'écrire :


Exemples :


Remarquer que le produit présenté précédemment :

3- Exercice d'application :


Énoncé :
Montrer que :
1-
2-

Solution :
1-Montrons par récurrence que .
Notons
Il est conseillé d'écrire les termes avec sigma sous forme d'addition :
Initialisation : Pour , on a :
Donc : et est vraie.
Hérédité :Soit un entier de , supposons que est vraie et montrons que est vraie (On évite l'utilisation de la lettre pour l'hérédité car déjà utilisée comme variable muette de la somme). See Chloé By Matière Small Sac Hana L'exception Bi Bourgogne wgY4Xnq60

Hypothèse :
Résultat à prouver :Femme Main À Ligne Marsèll En Comparer Acheter Sacs ZEq7B6xwwt
On a :



Or, on a :

Donc :
Cela veut dire que est vraie.

On conclut par récurrence que :.


2-Montrons par récurrence que
On note
Écriture de la somme sous forme d'addition :
Initialisation : Pour , on calcule :
Donc : et est vraie.
Hérédité :Soit un entier de , supposons que est vraie et montrons que est vraie.

Hypothèse :
Résultat à prouver :
On a :



Il s'ensuit que est vraie.

Conclusion, par récurrence :

Merci à Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Publié le
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